在振动中系统的模态究竟是什么?

 

2020-08-08 12:13

  中最重要的概念之一。也是本人初学振动力学时最为头疼的一个概念。我所看过的国内的有关振动力学的书,和题主一样,我很少有见到某本书能够让我从数学原理及物理意义上完全去理解“模态”这样一个概念。

  之后我开始阅读国外的经典振动力学书籍,看了振动模态分析的鼻祖R. E. D. Bishop的最经典著作《The Mechanics of Vibration》[4],以及与其配套的另一本纯数学的参考书《The Matrix Analysis of Vibration》[5]。Bishop 曾就读于美国Stanford大学,他的导师是现代工程力学之父——S. P. Timoshenko。著名的铁木辛柯梁模型就是他提出的,Timoshenko 奠定了瞬态振动问题的研究基础[6]。在当时,瞬态平衡理论在解决刚性转子振动时很有效,但是却无法解决大型柔性转子的振动问题。在Bishop 及其同事的努力下,创立了模态分析方法,成功攻克了这一难关。

  单从第二本书《The Matrix Analysis of Vibration》的书名就可以发现:模态分析理论是建立在矩阵分析,也就是线性代数的基础之上的,而这些线性方程组派生于一系列运动微分方程,所以微分方程和线性代数是模态分析理论的数学基础。

  因此,为彻底了解模态及模态分析,我又复习了一遍微分方程和线性代数,结合机械振动的实例,才将模态的数学原理和物理意义给摸清楚。

  人们对振动现象的理解都是由易到难的,所以一开始都会去分析,单自由度系统是怎么运动的,假设一个单自由度系统的受力情况如下:

  当然,人们肯定不会仅仅满足于单自由度振动系统的求解,自然会去研究多自由度系统,而多自由度系统中最简单的是两自由度系统,只要能理解两自由度系统的振动解的特性,就自然能推广到更多自由度的振动系统上去。这里假设图3 所示两自由度振动系统的阻尼满足粘性比例阻尼[7]。

  在自由振动情况下(无外力施加),根据Newton第二定律,该系统的动力学微分方程组如下:

  我把这部分内容的具体计算及推导过程和MATLAB代码都写在了:机械振动理论(3)-解析实模态分析之中,有兴趣的可以跟着推导一遍,在这里我主要说结论及性质。

  通过模态分析可以得到了模态振型矩阵,这部分完全是线性代数知识,涉及矩阵的特征值和特征向量,以及不同特征值所对应的特征向量之间的正交性质,对于该例子,模态振型矩阵为:

  其中每一列对应一个模态振型,第一列是第一阶模态振型,第二列是第二阶模态振型,其表示的意义分别是:

  通过模态分析,我们就能将多自由度系统的问题全部分解成为模态空间中的多个单自由度系统,然后将各个模态分量叠加再变换回实际的物理空间中,便可以求解多自由度系统中各个坐标的时域位移解了。

  如果选择的初始条件恰好匹配了一阶模态振型,那么系统将只以这一个固有频率振动。

  即,在该初始条件下,系统只以第一阶固有频率振动。可以看出两个坐标的位移同向。

  振动中的模态或者模态参数其实是一种统称,其中包含固有频率、阻尼比和模态振型。系统有多少个自由度就会有多少阶模态。模态分析方法是通过坐标变换将多自由度系统解耦成为模态空间中的一系列单自由度系统,通过坐标变换可将模态空间中的坐标变换为实际物理坐标得到多自由度系统各个坐标的时域位移解。

  这里的坐标变换利用了实对称矩阵必能相似对角化的性质,通过选择特征值和特征向量,将实对称矩阵变换称为对角阵,从而实现方程组之间的解耦,将多自由度问题分解成为一系列单自由度问题,最后通过模态叠加的方法得到最终结果。

  傅志方, 华宏星. 模态分析理论与应用[M]. 上海交通大学出版社, 2000.

  曹树谦. 振动结构模态分析理论、实验与应用[M], 天津大学出版社, 2000.

  R. E. D. Bishop, D. C. Johnson. The Mechanics of Vibration[M], Cambridge University Press, 1960, 1979.

  R. E. D. Bishop, G. M. L. Gladwell, and S. Michaelsdon, Matrix Analysis of Vibration. Cambridge University Press, 1965.

  Timoshenko, S. P. Vibration Problems in Engineering. 3rd edition, 1955 (1st edition 1928), Van Nostrand Co., New York.

  T.L. Schmitz, K.S. Smith, Machining Dynamics, springer, Springer US, Boston, MA, 2009.

  感谢@Albert Liu的邀。人生第一次被人在知乎上邀请,好鸡冻啊。模态和固有频率一样,都是物体or系统的属性。一般来说,第n阶固有频率对应(或者说激发)第n阶模态。

  对于滑块(单质量)-弹簧系统,滑块的运动方程x=asinωt。这里的a是指振幅。这个应该都知道。那么对于多自由度系统来说,

  每个 特征值ω 都对应一个特征向量。这个 ω 就是固有频率,而它所对应的特征向量Φ就是模态。假设n个自由度的系统,那么理论上,就会有n个固有频率,也会有n阶对应的模态。

  这就表明,在第一阶固有频率下,所激发系统自由度振幅关系比例为1:2:-1。

  再多说一点,在自由振动的情况下(比如,你把尺子压在桌子上,给个压力然后放手,尺子就会噔噔噔弹)。系统的运动是所有固有频率和模态运动方程的叠加。但,系统的运动,主要激发的是前面几阶,也就是说,频率越低,所拥有的被激发的能量就越大。这一点可以从频谱分析中看出来。第一阶往往比后面几阶大很多。

  就酱。(原谅我网上疯狂的截屏吧,哇卡卡卡~但那个解析式是我手打的哦~)

  想起我记忆中唯一一次兴致大发要学做菜,第一次我就想尝试煎一条鱼(家乡特色),所以就从网上查了食谱。鱼一条,盐少许,葱姜蒜少量,料酒一勺……经过一个半小时的努力之后,物品合成失败,菜既不好看又不好吃,我就很纳闷,明明都是一样的调料,凭什么网上做出来的和我做的就不一样?然而在一旁的我妈早已看穿了一切……我妈说:“一般都放半勺盐,你怕会淡,就加两勺,锅里的水一蒸发,鱼身上都快结盐粒了;你不喜欢吃姜,就放了一点姜末,最后一点姜的味道都没有,鱼腥味还保留一大半。”我这才恍然大悟,原来是调料放的量不一样。

  多年之后,在我学习振动力学的时候,我陷入了同样的思考:同是一个二自由度的振动系统,为什么振动起来差别那么大呢?对了,一定和“调料”的量有关。

  “调料”就是模态,对于二自由度的系统,只有两个“调料”,模态一和模态二

  对于一个多自由度系统,其振动规律很复杂,但在一群锲而不舍的老大爷们的研究下,发现任何一个振型都是几个简单振型各自乘个系数然后加到一块儿的,这些个简单振型就是模态。

  如魏子天同学发的两辆小车的图(在此表示感谢,因为本人懒,没有找图),这是一个二自由度的简单的振动系统,如果我们假设小车质量相同,弹簧劲度系数相同,那它的模态是哪些呢?不用算,猜就可以了。就两个模态嘛,一个是两个小车一起同步左右运动,中间弹簧不受力;另一个是中间弹簧的中点保持不动,两个小车向两个方向做若即若离来回振动(呃……)。是不是这样呢?他确实是这样的。有了这两个模态,你可以把它们振幅假设为一,这样所有关于这两个小车复杂的振动你都可以给这两个模态一人一个系数相乘,然后加一块得出来。

  正交不是什么体位,说白了可以理解为“垂直”、“相互独立”之类的。这又是什么意思?想象一下如果做鱼不放姜,只放葱蒜,那无论你用什么比例什么量,都没有办法把姜味配出来。振动系统也是,比如我有个五个自由度的振型,算了四个模态就懒得算了,那我这四个模态无论怎么叠加都无法表示出第五个模态。这时候你可以稍微有点空间概念了,这玩意儿不就是线性代数里学过的线性无关吗?想象不出来的话也可以想一下,x轴和y轴上的向量无论如何表示不出z轴的向量。

  说了这么多,再有一句,要有空间意识。模态其实就是模态空间,几个模态就是几维空间(就在数值上讲而已,别思维太发散),一个连续体就是无穷维,但是一群搞工程的往往不在意这种无穷的美,会把后边的维度舍去,不过为了工程需要也是可以理解的。

  最后,最不重要也是最重要的,这门课怎么考试?单自由度千奇百怪我管不着,多自由度的话过程几乎都一样,你能找到质量矩阵和刚度矩阵,按部就班地做,最后代个边界条件,不是满分也八九不离十了。无穷维自由度其实是最简单的,杆、柱、轴的振动方程其实一样,梁的方程略复杂,需要用心记,考试的时候先把书上例题的步骤默写上去(没看错,一字不差,默写),最后只是边界条件不同而已,你把边界条件带进去就妥了。

  突然想起当年的我准备振动力学考试,早上三点才睡着,结果考试迟到了一小时,虽然老师开恩让我进去而且发挥不错拿了个优,不过还是吓死我了(别打脸……)

  也就是一个系统的振动虽然非常复杂,各种耦合,但是其实只是是一些独立的谐振子的叠加罢了。

  这些谐振子按照各子不同的频率做简谐运动,简单的不能再简单。但是混合在一起表现的就非常复杂,让我们好像觉得这是个复杂系统。

  所以分析这个系统最好的方法,就是把这些谐振子找出来。这叫做解耦,把本来耦合的系统分解成独立的。而这些谐振子,我们叫他们模态。

  比如一根两端固定的梁,他要怎么振动我们完全不知道,它有无穷个质点,也就有无穷个自由度,我们只知道这些自由度是怎么互相牵连罢了(弹性力学方程)。但是解耦后我们发现其实只是这几个简单的振动形式叠加而已(所以模态也叫作振形):

  这些振形随时间按照自己的固有频率振动,简单的不能简单啦,除了形状比较奇怪以外(比如如果你做什么变速箱壳的模态分析,会有看起来非常扭曲的那种振形),和高中学的小块弹簧简谐振动没区别,我们就能轻松的解决他啦。

  至于使用方法嘛,请看振动力学的模态叠加法。这个方法在有限元中被也用来解决非冲击的的动力学问题,省时间省内存。

  顺带一提,模态空间有很多很有意思的性质,比如由于刚度矩阵的正定对称性,模态都是正交的,不仅可以分解我们这个振动,它们还构成了某个n维空间的基底,n等于这个系统的自由度。所以它们可以把载荷谱也分解了,复杂的载荷也就变成一个个单独作用于个个模态的载荷,叫做载荷谱,问题到这里就彻底解决了。

  一个系统一般包含了质量、阻尼和刚度三要素,简单说一下,以下的胡咧咧是建立在线性理论上,非线性振动不在讨论之列:

  “振动方程”的建立,即描述了系统的质量、阻尼和刚度在空间的分布情况,有限自由度系统的振动方程是常微分方程(变参量为时间t),而无限自由度系统的振动方程是偏微分方程(变参量为时间t和空间坐标xyz);

  模态是一个统称,就是通过求解“振动方程”而来,包括固有频率、模态阻尼、模态刚度、模态质量、固有振型等,有些人喜欢把“模态”特指“固有振型”,无可厚非;

  有限自由度的振型是一个“比值”,而连续体(无限自由度)的振型是某个连续函数,振型是不能用“大小”来衡量,只能说是“相对幅值”;

  一个系统有多少个自由度就有多少阶模态,就是说杆、梁等连续体有无数阶模态,而每阶模态包含一个固有频率(矩阵特征值),并且对应一种模态振型(矩阵特征向量,基础解系),各阶振型彼此正交(数学解释即为两两振型向量积为零,物理意义即为在空间上不发生能量传递);

  针对欠阻尼系统,阻尼对固有频率的影响很小,甚至可以忽略,但是在某些情况下的研究就不能随便忽略了,例如MEMS中高大上的热弹性阻尼(thermoelastic damping);

  阻尼的机制很复杂,不同的阻尼机制会涉及不同的振动方程,因此导出“实模态”和“复模态”的说法;

  输入(激励)、系统、输出(响应)三者的“知二求一”关系需要搞清楚,分为“振动分析”、“试验模态分析”和“环境分析”;

  先写这么多,最好看看《机械振动》和《试验模态分析》相关书籍去慢慢体会吧。

  模态的本质,即将振动问题进行空间线性量化,不同模态之间并无能量耦合,特征值对应某阶固有频率,特征向量对应某阶阵型,懂线性代数和傅立叶变换的话应不难理解。再举例说,模态就好比ps里的图层,各个图层颜色是不耦合的,频率好比各个图层颜色的亮度神马的,再不理解就要学一下理论再说了…

  我说点个人感性理解吧。n自由度系统,把他看做n维向量空间,找到一组基,既可以表示任意一个向量。找到这组基的过程就是模态分解的过程,模态可以认为是这组基中单个向量的性质。不对的话欢迎指正~

  非专业,只在固体理论中接触过晶格原子的振动,我说说看。系统有n个独立振动自由度(比如一维的含有n个原子的简单原子链),写出作用量,发现其“势能项”(振动位移的二次型)中各种不同位置的原子的振动位移都有,写成矩阵形式会发现二次型矩阵中有非对角项,这样的作用量给出的运动方程是没法直接求解的。考虑到振动位移的取值集合是一个n维矢量空间,于是我们可以引入线性变换将其对角化(势能矩阵通常是实对称矩阵,所以可以用正交变换对角化),对角化以后,新的振动位移的时间演化就可以通过运动方程求解了,然后再做一个正交变换就能把原来的振动位移用新的振动位移表示出来。我们给新的振动位移取名字叫做简正坐标,它代表了一系列的独立的谐振子,称为简正模,这些独立谐振子的振动频率称为简正频率。

  我们物理上特别喜欢这种简正模,因为从波的角度看,它是独立传播的具有确定波矢的平面波,所以把整个模型量子化以后,简正模对应了一种自由传播的粒子,我们称之为声子。

  一个振动系统, 它的模态是什么意思? 作为一个例子, 我们可以从一个矩形薄板来看。

  从实验角度看, 用激振器对板激励, 在某些特定的频率下, 板的振幅响应很大, 并且形状呈现一定的花纹, 有峰谷交替, 有节线;, 即振幅为零的点的连线。这个频率和振动形状似乎是固化于结构本身, 和激振的作用位置和激振力大小, 等等, 并没有关系。这就是固有频率和固有振型的意思。

  从振动微分方程的解来看, 或者从有限元的解来看, 正好可以得到这个固有频率和振型。而它们又正好是数学中的特征解, 特征值, 特征向量。(当然, 这是必须的。否则这个振动微分方程就不会被接受了)。

  当年也困扰我很久,后来我在YouTube上找到了相关视频,立马明白了,现在不好翻墙了,建议你上b站,搜索一下钢板模态试验这几个字,有段视频一看就明白什么是模态,比看大段大段公式好太多

  例子一:一个用弹簧悬挂的小球,振动起来后,就是一个上下振动的运动形式,这个运动状态就是模态,很明显这个系统就只有这一阶模态。

  例子二:在上面的小球下面再用弹簧挂一个小球,振动就有两种形式,一是两个球一起同方向运动,这就是一阶模态。第二种形式就是两个球运动方向相反,这是二阶模态。

  例子三:在上面的两个小球下面再用弹簧挂一个球,就变成了三自由度系统,它有三个模态:一是三个小球同方向运动,二是最上面的小球与下面的两个球运动方向相反,三是上面的两个与最下面的球方向相反。

  楼上各位大神们各种引经据典的说了一大堆关于模态的概念。但其实,个人不太喜欢在介绍一个概念时就推出什么自由度、特征方程这些。正如我们小学时学习算术时,老师和你说,你一共有5块糖,被小明吃掉2块后,还剩几块?于是我们明白了减法的实际意义,也就是物理意义。

  模态的定义,本身就是基于一种物理竟义而进行的,否则我们就叫它特征向量了。先看这两个字,翻译自modal,既有音译,又有意译,真的算是高能翻译词之一了(另一个个人非常喜欢的就是对“函数”的翻译),顾名思义,它是一种模式,一种状态。而其实呢,它的意义本身也正在于此,所体现的是一种状态,这种状态是什么呢?

  它是结构在振动过程中所遵循的某种特定的固有形状模式。这就象流水一样,它总会向最利于重力下降的方向流一样,这个固有模式也如此,在某一种特定条件下,它总会更倾向于某一种固有的振动状态。而在没有特定条件下,就如你仅仅是一个平坦的斜面上观察水流一样,它总是很自然就沿斜面光溜溜的流下去了,不会发生分岔。振动也一样,如果没有特定条件,一个结构的振动,总会以最容易发生的一个状态模式振动,也就是我们说的一阶模态。

  事实上,模态是人为的将振动宏观现象进行分解后得到的产物,是我们探究自然世界得到的一种数学模型。

  感觉楼上都回答的好复杂,模态其实就是振型,就是振动的形态,一般系统有n个自由度就会有n阶固有频率,也就有n种振动形态。

  简单举个例子:一个三自由度系统一般会有三个固有频率,n1n2n3,(不排除会有固有频率为0的刚体模态的情况),三个自由度均以n1振动时称为1阶主振动,对应的振动形态就是1阶主振型,也就是模态。n2,n3时一样。

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