从一道习题开聊三角形面积公式

 

2018-12-27 04:37

  不由地想起一段往事,记得当时也是遇到这样一道题,学生有好几种作法,有的选择点到直线距离求高,有的选择距离公式求三边长,再利用海伦秦九韶公式的,有的选择余弦定理求出一角的余弦值,进而求出正弦值,最后算出面积的。因为涉及到计算量大小,有的孩子算对了,有的计算失误而导致结果错误。

  记得当初我给出答案,学生们近乎疯狂,他们惊讶的原因是对三角形面积公式的不熟悉,所以我们今天来谈一谈三角形的面积公式。

  三角形是最简单、最基本的多边形,由于在所有多边形中,唯有它具有稳定性,所以我们的生活和数学中有着太多的三角形模型。所以有很多数学爱好者对三角形进行研究,今天我们把古人对三角形面积的研究分享如下:(我是知识的搬运工)

  这个公式我们并不陌生,小学时就接触过,譬如说这道题,就有很多学生选择这一方法求解:

  这个公式也不陌生,是课本上给出的一个公式。也有部分学生选择这个公式解决问题:先求出三边长,在利用余弦定理求出一角的余弦值,进而求出这个角的正弦值,最后利用公式求解。

  秦九韶(字道古,公元1202——1261年),南宋数学家,与李冶、杨辉、朱世杰齐名,同为我国数学黄金时代宋元时期的四大数学家。

  秦九韶在其数学巨著《数书九章》卷五中,所述的第二题是:“问沙田一段,有三斜(三角形三边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步(每300步1里)。欲知为田几何?”“答曰:田积三百一十五顷(每100亩为1顷)。”

  “术曰:以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂吗,余半之。自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一从为隅,开平方得积。”

  这个就是我们所熟悉的海伦公式。公元1世纪,希腊数学家海伦在其所著《度量论》一书中给出了这一公式。这个公式简洁、对称,极具美感,深深揭示数学之美、数学之妙。

  当然说法称这个是海伦秦九韶公式,但是我们知道,秦九韶公式是我们上面提到的公式11,也叫做三斜求积式,这个公式是基于中国人善用的“勾股”思想,因而公式也具有此形式,我们可以稍作推演就会发现海伦公式和秦九韶公式是等价的,所谓英雄所见略同,海伦秦九韶公式的提起也就不算做无缘之木了。

  印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中,给出了用四边长来表达圆内接四边形面积的公式:

  这个公式无论从形式上还是内容上似乎都是海伦公式的延拓与推广,当然,这个公式仅仅适用于圆内接四边形。

  布列施内德在1842年给出了除四边形四条边长再加上两条对角线长的四边形面积公式:

  三角形的公式蕴含着丰富的数学思想和方法,只要我们勤于总结,善于思考,就能养成良好的学习习惯,培养学习数学的兴趣,提高数学解题的能力。

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