动力学基本永乐国际方程

 

2020-08-29 14:27

  动力学基本方程_数学_自然科学_专业资料。动力学基本方程 一、绪论: 1.研究对象 动力学是研究物体机械运动状态的变化与 作用于物体上的力之间的关系的一门学科,将 物体的运动和力加以统一考虑,研究机械运动 所具有的普遍规律。 2.动力学与

  动力学基本方程 一、绪论: 1.研究对象 动力学是研究物体机械运动状态的变化与 作用于物体上的力之间的关系的一门学科,将 物体的运动和力加以统一考虑,研究机械运动 所具有的普遍规律。 2.动力学与静力学,运动学之间的关系 静力学——只研究物体的力系的合成与平衡问题, 不考虑其运动,即不考虑力系的不平 衡状态。 运动学——只研究物体作机械运动的几何特征, 只考虑了运动,不考虑引起物体机械 运动状态发生变化的原因,即不考虑 物体的受力状况。 动力学——既研究物体上受力的情况,也需考虑 其运动,静力学和运动学都是动力学 的基础。 事实上,各种物体之间的机械运动状态的 变化与物体的的存在着极为密切的联系而不可 分离,所以单纯只研究受力和研究运动都不能 对机械运动作出合理的研究,必须同时将力与 运动联系起来,加以统一研究,所以学习动力 学就更具有重要性; 3. 两类基本问题 (1) 已知运动求力:(主要是指求约束反力) 例如:曲柄滑块机构,其运动规律可以求得, 或者首先设计出来,故作用在滑块上的蒸汽压力 应按一定的要求变化。 (2)已知力求运动 如发射炮弹,飞机航行等受力已知,但发射 炮弹要控制弹道曲线,飞机航行要控制运行的轨 迹等,这就要求控制运动。 又如起重机吊重,起步与制动时,作 加速运动,运行过程中作匀速运动,所以 在起步和制动过程中,要考虑由加速和减 速引起的力,钢绳是否能承受这个力,这 就是已知运动要求力的问题。 4.质点、质点系 (1)质点 ——在所讨论的问题中,其大小及形状 可以忽略不计,但要求考虑质量的点称为质点。 (2)质点系 ——在运动中,相互靠一定的联系而联 接在一起的一群质点,如曲柄连杆机构中, 曲柄,连杆及滑块都个为一质点,整体为一 质点系。 二、动力学基本方程 1.动力学基本定律 第一定律:牛顿第一定律(惯性定律) 任何物体都保持其静止的和匀速直线运动 的状态,直至它受到其它物体的作用而被迫改 变这种状态时为止。 (这里所说的物体应理解为没有转动或其 转动可以不计的平动物体,即质点) 惯性——任何物体在不受力作用时都有保持其 运动状态不变的属性,物体的运动这一运动属 性称为惯性。 第一定律正是指出了这种属性,所以又叫惯性 定律。 惯性运动——物体的匀速直线运动就称为惯性 运动。 惯性坐标系 ——研究机械运动首先应建立参照坐标系, 物体运动的状况是随所选的参照坐标系的不同 而不同的,因此必然会出现这样一种现象: 即对某一参考系而言是作惯性运动的物体 对另一参照系来说却作变速运动,但物体及其 所受的力并不因为所选的参照系的不同而改变, 所以,第一定律能否成立与所选的参照系密切 相关。 惯性坐标系 ——凡第一定律(惯性定律)在其中能成立 的参照系称为惯性坐标系。 工程实际中,所遇到的大多数的动力学问题, 都可以把固结在地球表面坐标系看作是惯性坐标 系。研究人造地球卫星或行星的运动时,则应分 别选取地心或日心原点,且坐标轴在空间方向保 持不变的坐标系作为惯性坐标系。 同时,第一定律也表明了外力是物体获得 加速度的外部原因。 F ? ma 第二定律: 即使物体所获得的加速度的大小与它所 受 的外力成正比,而与物体的质量成反比,加 速 度方向与外力的方向相同。 第二定律阐明了物体的质量,加速度与它 所受的力三者之间的关系。 F ? ma ? a ? F , a ? 1 m F ? ma ————即为动力学基本方程 m的物理意义: m ? F (其商为标量) a 从上式可以看出,当物体在某个力的作用 下获得大小为一个单位的加速度时,则此物体 的质量在数值上就与该力相等。所以,质量在 数值上等于该物体获得一个单位加速度时所需 加的力。 从: F ? ma 可以看出,当 F一定,m大,获得的a小,惯性大; F一定,m小,获得的a大,惯性小。 因此:质量小的物体惯性小(容易改变原来的 运动状态);质量大的物体惯性大(不易改变 原来的运动状态);所以,物体的质量反映了 物体的惯性,即质量是物体惯性的量度。 质量的单位:国际单位:Kg 基本单位与导出单位: 基本单位:在国际单位制(SI)中, 质量的单位是千克(Kg), 长度的单位是米(m), 时间的单位是秒(s) 导出单位:力的单位属于导出单位。 使质量为1Kg的物体获得1米/s2的加速度所需 加的力被取作为力的单位,称为1牛顿( 简称牛, 符号为N),即: 1N ? 1Kg ? m / s2 工程单位制:工程单位制中力的单位是基本单位, 质量的单位为导出单位。 规定为:质量为1Kg的物体置于北纬45度的海平面 时该物体的所受的重力值取作为力的单位,称为1 公斤(力)。 (或者说,将能使质量为1Kg的物体所受的重力 值,取作为力的单位,称为1公斤(力)。 即:1Kg(力)=1Kg×9.8 m/s2=9.8 N ——上式为国际单位制及工程单位制中,力的两种 不同单位(公斤力与牛)之间的转换关系式。 在工程单位制中,质量的单位为: 1工程质量单位 ——将在1公斤(力)的作用下能获得1m/s2 的 加速度的物体所具有的质量称为1质量的单位。 1工程质量单位=1公斤(力)?秒2/米 =9.8N?s2/m=9.8Kg ———该式为质量的两种不同单位的换算关系 采用工程单位制时,如已知受力物体的重量p (以公斤为单位),则其质量为p/g。 牛顿第二定律的适用范围: 牛顿第二定律适合于惯性坐标系。 附:精密仪器工业中: 绝对单位制为厘米克秒制 基本单位:用cm表示长度,g表示质量, s表示时间。 导出单位:用达因(dyne)表示: 1dyne=1g×1cm/s2 即: 一克质量的物体获得1cm/s2的加速度 时,作用于物体上的力为1 dyne. 第三定律:作用与反作用定律 当甲物体以一力作用于乙物体时,则乙物体 必对甲物体有一反作用力,作用力与反作用力等 值,反向,共线,且分别作用于甲乙物体之上。 该定律对于静力和动力都适合。 质点运动微分方程:(DE) 运动DE ——指一个方程,该方程直接由牛顿第二 定律导出;方程中包含了确定质点的变量对时 间的变化率;即称为质点运动微分方程,方程 有多种形式; 1. 矢量形式的运动DE: ma ? F ?a ?dv dt ? d 2r dt 2 (F为合力) ?m dr ? F dt z Mv r O zF y x x y 或者 : m d 2r dt 2 ? F (3)直角坐标形式的运动DE; 将矢量形式的运动DE各项所表达的直角 坐标轴上进行投影,得到投影形式的DE: ?m?x? ??m?y? ? ? ? ? Fx Fy ? ? m?z? ? ? Fz z Mv r O zF y x x y ——直角坐标形式的质点运动微分方程(组) 特殊形式:质点沿平面曲线, z? ? o, ?z? ? 0 ? FZ ? O 质点沿直线运动:(力系在y,z方向上均平衡) ?y? ? 0, ?z? ? 0 ? Fy ? 0, Fz ? 0 (4)自然轴(坐标)形式的运动DE 若已知质点运动的轨迹,则可将矢量形式 的运动微分方程两端的投影到自然坐标轴。 b τ v M o na F 得:??m ???m ? dv dt v2 ? τ n ? ? F? Fn ? ? ma? ? m?s? ? F? ???man ? ? m v2 ? ? Fn ? 0 ? Fb ?? mab ? 0 ? Fb ?? τ,n,b分别为轨迹的切线、法线及次法线轴。 特殊情形: (1)如果质点沿平面曲线运动,那么曲线上 的点的密切面都在该平面上。 (2)如果质点作直线运动,则只要第一式。 利用以上三种形式的直线运动微分方程, 原则上就能解决有关质点运动学的所以问题, 至于在具体应用时宜选取什么形式的运动微分 方程,则需要根据具体的问题而定。 质点动力学的问题分为两类: 第一类问题:(微分问题) 已知质点的运动,即已知质点的运动方程, 或已知质点在某瞬时的速度或加速度,求作用于 质点的未知力。 第二类问题:(积分问题) 已知质点所受的力,求质点的运动方程或 速度。 两类问题常常不能截然分开,常常在一个问题中 就包含着这两类问题。 质点动力学第一类问题 已知质点的运动,求作用在质点的力。 如果已知质点的运动方程,求它们对时间的 导数,于是由质点的运动微分方程即可求出作用 在质点上的力。 所以,这类问题可以归结为微分问题。 自由质点与非自由质点: 自由质点————运动时不受约束的质点, 如人造卫星,炮弹等,其运动由主动力和运 动的起始条件决定的。 非自由质点————运动时受到约束的质点, 非自由质点的运动不仅决定于主动力和运动 的起始条件,而且还与约束的性质有关。 如自由质点或非自由质点的运动情况已知,要求出 它所受的力,这类问题属于第一类问题。 解题方法 (1)明确研究对象,画出受力图 (2)选取适当的坐标系,分析运动和受力,根据 问题的已知条件建立适当的运动微分方程。 ?x ? ? y ? ? f1 ?t ? f2 ?t? 或 s ? f (t) ? ? z ? f3 ?t ? 由简单的导数运算,可求得加速度,再建立 运动微分方程 ? ? mv ? ms ? F? ?mx ??my ? ? Fx Fy ? ? mz ? Fz ? 或 ? ? ? ? m ?s ? ?2 = mv ? 2 =Fn ? ? Fb=0 解出微分方程各未知力,即得需求的结果。 (将各力代入微分方程求解) 例: 汽车的质量m=1500 kg, 以匀速v=36km/h 在 一段向上弯曲的圆弧路面上行驶,已知圆弧半径 R=100m,求汽车所受路面对它的法向反力的最 大值。 an a v B FN θ mg Ff 解:(1)研究汽车,受力分析如图 (2)速度分析如图, 匀速运动: a?=0 an ? v2 ? =v2 R (常量) an a v B FN θ mg Ff (3)建立运动微分方程求解: 由牛顿第二定律得出: FN ? Ff ? mg ? ma 汽车运动的轨迹为一段圆弧,故选取自然 坐标形式的运动微分方程,故有: an a v B FN θ mg Ff 汽车作匀速运动: 由上列方程得: an a v B FN θ mg Ff 当汽车达到最低点B时, 且: 将: 代入得: 由以上得计算可以看出,汽车在圆弧路面 上行驶时,所受路面法向反力FN由两部分组成: 第一部分汽车静止于任一点A处时由车重所 引起的法向反力,称为静反力;mg sin ? 第二部分是汽车因受路面的限制,而被迫 改变运动方向而沿圆弧运动所需的向心力,也 属法向反力,称为动反力。 mv2 / R 路面对汽车的法向反力等于静反力与动反力 之和。 当法向反力达到其最大值(即汽车在B点处) 时,其法向反力与法向静反力的比值为: ? ???1 ? v2 gR ? ??? 称为动荷系数。 表示物体按照已知条件运动时,所受的最大 法向动反力是法向静反力的倍数。 动力学的问题中,因为动反力经常出现,所以应给 予足够重视。 例2 质量为1kg的重物M,系于长L=0.3m 的 线上,线的上端固定在天花板上的O点,重物 在水平面内作匀速圆周运动而使悬线与铅垂线度,试求重物运动的速度和线)受力分析如图: 拉力F,重力mg (3)运动分析:M在平面上 作圆周运动,a? , an , v 速度沿M点切线 r FT nM mg v τz b (4)建立运动微分方程并求解 因M点的轨迹已知为圆周,故可采用自然 坐标形式的运动微分方程 ??m ? dv dt ? F? ? 0 ??m ? v2 r ? Fn ? FT sin 600 ?0 ? ? Fb ? mg ? FT cos 600 ? o L 60 FT r nM mg v τz b 由第1式知:v=常量, 由第3式得: 将TF值代入第2式得: ??m ? dv dt ? F? ?0 ??m ? v2 r ? Fn ? FT sin 600 ?0 ? ? Fb ? mg ? FT cos 600 ? 即重物的速度为2.1m/s。 又悬线上的张力应与重物所受的拉力大小 相等,其值为19.6kN 例 套管A重FP,因受细绳牵引,而沿垂直杆 向上滑动。细绳过小滑轮B而绕在鼓轮上,滑 轮与杆的水平距离为L,当鼓轮匀角速转动时, 轮缘上各点速度的大小v,如不计滑轮半径和 摩擦,求以距离x表示的细绳的拉力。 解:(1)取套管A 为研究对象。 (2)受力分析: 重力FP,细绳拉力FT, 杆对套管的约束反力FN B s FT α sA FN x L FP A x (3)建立如图坐标系; (4)A点的运动微分方程: 需要先找出A 点的 运动方程x = f(t);再求 2阶导数,代入(1)中 求解。 B s FT θ sA FN x L FP A x 设初瞬时(t=0)套管位于A0,A0至滑轮B的 一段绳长为一定值S0,又在瞬时 t 套管位于A, A至滑轮B 的一段绳长为 S,则 S-S0 就是在 从初瞬时到瞬时t所绕在鼓轮上的绳长,它等于 初瞬时绳上位于鼓轮边缘处的点在同一时间t内 所过的弧长。故有: s0 ? s ? v0t B s FT θ sA FN x 由图中几何关系得: S= x2+L2 L FP A x S= x2+L2=S0 ? v0t ---套管A的运动方程 S= x2+L2=S0 ? v0t 将运动方程等式两端对时间t求导,得: xx? x2 ? L2 ? ?v0 ? x? ? ? v0 x x2 ? L2 ---导管A的速度与坐标之间的关系。 A点的加速度为: ?x? ? x2 L2v0 x? x2 ? L2 ? ? L2v02 x3 (2) 由于v0、L、x均为正,而 x? 、?x? 均为负, 说明套管A沿铅垂杆加速上升。将 ?x? 值 代入得: FT ? FP g ? ?g ? ? L2v02 x3 ?1 ? ? cos? 1 ? ? ?? L x 2 ? ? ? ---以x表示的绳的拉力。 小结:解动力学第一问题,步骤如下: (1)分析质点的受力情况: 对于非自由质点,除了主动力外还受到约束 反力的作用,一般来说,约束反力是未知力,但 其作用线和指向往往可根据约束的性质决定。根 据受力情况准确的画出质点的脱离体及受力图。 (2)分析质点的运动情况: 按题意给出的运动条件,分析质点的轨迹, 速度和加速度。并由此确定所采用的微分方程 的形式。 (3)列出运动微分方程,并将已知条件代入以 求出未知力。 4.质点动力学第二类问题 质点动力学的第二类问题为已知作用于质点 上的力,需要求出质点的速度和运动方程等,这 类问题恰于第一类问题相反,可归结为对运动微 分方程的积分问题。 例如,若已知质点所受的力在坐标轴上的投影 x、y、z 和 Fτ、Fn,要求出质点的运动规律, 则必须对于运动DE: m?x? ? X ? m?y? ? Y ? ? m?z? ? Z ?? 或 ??m ?? ? m ? dv dt v2 ? ? ? FC Fn ? 0 ? Fb ?? 积分,并根据运动的初始条件以确定积分常量。 由于力可以是多种多样的各种函数,因此 解决这类问题没有统一的方法,要根据力的类 型而决定。 又由于积分问题比微分问题困难,不是所 有的函数都可求得积分的解析解,还可能采用 数值解,或者采用计算机进行数值解。 1、可将通常遇到的力分为以下几类: (1)常力: 如地面附近的物体所受的重力,均匀静电场中 运动的带电质点所受的电场力等。 (2)力是质点坐标(即位置)的函数; 如弹性力,万有引力以及两带电物体间的静电 力等。 (3)力是质点速度的函数: 介质(气体或带电体)中的运动物体所受的介 质阻力等。 (4)力是时间的函数; 机器启动或停止过程中马达的牵引力; 带电质点在变电场(电流随时间而变化)中 所受的力; 工程结构所受的地震力等等。 在实际问题中,质点往往受到多个不同类的 力的同时作用,例如,空中飞行的炮弹同时受到 重力和介质阻力的作用,而如果是飞行中的飞机, 则除重力与介质阻力外还会受到喷气推进力等等 的作用。 质点所受的力复杂,又不同类,微分方程中 包括了几种不同类型的函数,象这类问题,就找 不到解析解,只能采用近似解。 2、例题 力是常力和力是质点坐标的函数 例: 一长为L ,质量不计的细绳上端固定于O点, 下端系一质量为 m 的小球并可在沿铅垂平面内 摆动。如图 ,已知 当绳的摆角为 φ0 , 小球的速度为v0,试 求小球在任意位置时 的速度。 o φ L φ 0 解: (1)研究对象: 小球A (2)受力分析: 重力mg, 绳的约束反力FT (3)运动分析: 小球作已知的 圆周运动,半径为L,任一瞬时小球的 速度沿该位置的切线)建立运动微分方程: FT ? mg ? ma 因其运动轨迹已知 为一圆弧运动,所以建 立自然坐标形式的运动 微分方程。 两端积分得: ---小球在任一位置时的速度 例 由地球表面上任意一点沿铅垂方向 向上发射物体,如图,试求此物体射出 后不致返回地球所需的发射速度。 x Mv F R o 解:(1)研究质点M (2)M点受万有引力的作用。 由牛顿定律知物体所受地球引力的大小为: F ? ?m r2 x Mv F ---μ是引力常数; M是物体的质量; r是物体到地心的距离。 R o 以地心为坐标原点,x轴铅垂向上,则物体 在任一位置时所受的引力F在x轴上的投影为: Fx ? ? ?m x2 x Mv F μ的确定: 当物体位于地面时, 它所受地心引力为重力。 R o 因而有: ? mg ? ? ?m R2 ?? ? gR2 ? Fx ? ? mgR2 x2 (3)运动分析:M直线)建立直角坐标形式的运动微分方程。 m?x? ? Fx ? ? mgR2 x2 ? ?x? ? ? gR 2 x2 x Mv F R o 采用分离变量求解微分方程: ?x? ? ? gR2 x2 ?x? ? dx? ? dx? ? dx ? x? dx? dt dx dt dx 代入上式得: x?dx? ? ? gR2 x2 dx x?dx? ? ? gR2 x2 dx 设发射速度为v0,物体在空中任意位置时的速度 为v,则: ? ? v x?dx? ? ?gR2 x dx vO R x2 故得: ? ? 1 2 v2 ? vo2 ? gR2?? 1 ? 1 ?? ?x R? ?vO ? v2 ? 2gR ? 2gR2 x 当物体的坐标x趋近无穷大时,它所受到的地球 引力应趋近于0,这时,即使物体的速度v 已减到0, 物体也不会返回地球,于是由上式可得上抛物体一去 不返的最小发射速度为: vO ? 2gR 地球半径:R=6370km,g=9.8m/s2,代入上式得: vO=11.2km / s 这就是物体逃离地球所需的最小发射速度,称 为第二宇宙速度(又称为逃逸速度) 3. 力是速度的函数 例 当物体在气体,液体等于介质中运动时,介质 阻力对物体的影响非常大,例如雨滴的降落,泥沙 沉淀以及伞兵跳伞等,这些物体在运动中所受阻力 随速度的增大而增大 ,因而加速度越来越小 ,当 介质阻尼力与物体所受重力平衡时,则物体的加速 度减小到零 , 此后物体速度不会再增加而将保持 为常量 ,显然 ,此常量即为物体在降落过程中所 能达到的最大速度,常被称为极限速度。 假定物体所受介质阻力 与其速度的平方成正比,求 o 此物体下落的极限速度 解:(1)研究物体 FR x (2)受力分析: 重力mg ,介质阻尼R, R与v的平方成正比,设为: FR ? cs?v2 c――― 阻尼系数 mg x s――― 受阻面积 (即物体在垂直于v方向上面积的投影) β――― 介质密度,令:β=csρ (3)建立坐标,运动为直线)建立运动微分方程为: FR m?x? ? mg ? FR ? mg ? ?v2 x ? m?x? ? mg ? ?v2 当物体达到极限速度时, 其加速度为0,故得: mg v* ? mg ? mg x ? cs? 在同一介质中几何形状和大小均相同的两质量 不同的下落物体,则其极限速度也不同。 若两物体的质量分别为m1、m2,则极限速度之比为: v1* m1 v2* m2 即:几何形状和大小均相同的物体,在同一介质中 的极限速度与其质量的平方根成正比,利用以 上性质,可在介质中分离密度不同,而几何条 件相同的物体。 如飞行员体重750 N,当不张伞时:C=0.6, S=0.4 m2 , ? ? 1.25kg / m3 代入上式可得: v* (极限)=48.3m / s 开伞后: 根据分析得到以上极限速度。 直接由微分方程积分得极限速度: m?x? ? mg ? ?v2 m dv ? mg ? cs?v2 dt 该式变形得: dv dt ? g ? cs? m v2 ? ? m ???? mg ? ? v2 ???? ? ? 令:r2 ? mg ? ? dv dt ? g r2 r2 ? v2 ? ? v dv gt ? ? dt vo v2 ? r 2 r 2 0 r2 ? mg ? ? ? v ? dv ?g t dt vo v2 ? r 2 r 2 0

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