4弹性力学基本方程

 

2020-04-25 01:53

  4.弹性力学基本方程_工学_高等教育_教育专区。弹性力学基本方程 成都大学 张永强 基本内容 ?1.弹性力学基本假定 ?2.平衡方程 ?3.几何方程 ?4.本构方程 ?5.边界条件 为突出所处理问题的实质,使问题得以简单化和抽象化, 在弹性

  弹性力学基本方程 成都大学 张永强 基本内容 ?1.弹性力学基本假定 ?2.平衡方程 ?3.几何方程 ?4.本构方程 ?5.边界条件 为突出所处理问题的实质,使问题得以简单化和抽象化, 在弹性力学中,提出以下五个基本假定(理想化) ?(1)物体内的物质连续性(continuity)假定,即认为物 质中无空隙,因此可采用连续函数来描述对象。 ?(2)物体内的物质均匀性(homogeneity)假定,即认为物 体内各个位置的物质具有相同特性,因此,各个位置材料 的描述是相同的。(偏析) ?(3)物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定, 即认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特 性,因此,同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。 ?(4)线inear elasticity)假定,即物体变形与 外力作用的关系是线性的,外力去除后,物体可恢复原 状,因此,描述材料性质的方程是线)小变形(small deformation)假定,即物体变形远 小于物体的几何尺寸,因此在建立方程时,可以忽略高 阶小量(二阶以上)。 ?以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别,但 从宏观尺度上来看,特别是对于工程问题,大多 数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的 最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理, 以抓住问题的实质。 1 平衡方程 弹性体中任意一点达到应力平衡时: Lσ ? p ? 0 L ? ?微分算子 σ ? ?应力 p ? ?体积积 适合二维或者三维问题 对平衡微分方程的说明 ⑴ 代表A中所有点的平衡条件, 因位( ,)∈A; ⑵ 适用的条件--连续性,小变形; ⑶ 应力不能直接求出; ⑷ 对两类平面问题的方程相同。 ⑸比较: 理论力学考虑整体 的平衡(只决定整 体的运动状态)。 材料力学考虑有限体 弹性力学考虑微分体 的平衡(近似)。 的平衡(精确)。 从何而来? 对于三维问题,弹性力学基本方程为如下形式。 1. 平衡方程 由x,y,z三方向的力平衡可推出微分形式的平衡方程。在推导 平衡方程时不同位置截面上的应力将由于几何位置的差别dx,dy, dz而有所不同,以Taylor级数展开后,可写为 单位面积,x方向力合成,正应力,切应力 2 几何方程 表征质点位移与应变之间的关系 ? ? Lu ? - -应变 u - -质点位移矢量 二维或者三维 ? 从图0.1.3可以看出,平面物体在受力后,其几何形状的改变主 要在两个方面:沿各个方向上的长度变化以及夹角的变化,下面 给出具体的描述。 ?(3)定义夹角的变化 PA’线与PA线的夹 角为 在微小位移和微小变形的情况下,略去位移导数的高次幂,则 应变向量和位移向量间的几何关系有 3 本构方程 材料应力应变的关系 ? ? D? ? ? ?应变 D ? ?弹性矩阵 本构方程(constitutive equation),反映物质宏观性质 的数学模型 4 边界条件(求解的前提) ? ? ?F ? ?u ?F ? ?面力和集中力边界 ?u - -位移边界 弹性体V的全部边界为S, 一部分边界上已知外力px py pz称为力 的边界条件,这部分边界用Sσ表示;另一部分边界上弹性体的 位移w,v,u已知,称为几何边界条件或位移边界条件,这部分边 界用Su表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界,即 求解的前提

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