如何决定要使用多少点来做FFT

 

2019-11-26 18:22

  FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如果变换到频域之后,就很容易看出特征了。这 就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外,FFT可以将一个信号的频谱提取出来,这在频谱分析方面也是经常用的。

  虽然很多人都知道FFT是什么,可以用来做什么,怎么去做,但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。

  一个模拟信号,经过ADC采样之后,就变成了数字信号。采样定理告诉我们,采样频率要大于信号频率的两倍。

  采样得到的数字信号,就可以做FFT变换了。N个采样点,经过FFT之后,就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算,通常N取2的整数次方。

  假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值,就是该频率值下的 幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢?假设原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。 而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即0Hz),而最后一个点 N的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示采样频率Fs,这中间被 N-1个点平均分成N等份,每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为: 。由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到频率为 Fs/N,如果采样频率Fs为1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1秒时间的信号并做FFT,则结果可以分析到1Hz,如果采样2秒时间的信号并做FFT,则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力,则必须增加采样点数,也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。假设FFT之后某点n用复数a+bi表示,那么这个复数的模就是 ,相位就是 。根据以上的结果,就可以计算出n点(n1,且n

  假设我们有一个信号,它含有2V的直流分量,频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号,以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下:

  式中cos参数为弧度,所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样,总共采样256点。按照我们上面的分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我们可以知道,每两个点之间的间距就是1Hz,第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率:0Hz、50Hz、75Hz,应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值,其它各点应该接近0。实际情况如何呢?

  从图中我们可以看到,在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看:

  很明显,1点、51点、76点的值都比较大,它附近的点值都很小,可以认为是0,即在那些频率点上的信号幅度为0。接着,我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值,

  根据FFT结果以及上面的分析计算,我们就可以写出信号的表达式了,它就是我们开始提供的信号。

  总结:假设采样频率为Fs,采样点数为N,做FFT之后,某一点n(n从1开始)表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N;该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度(对于直流信号是除以N);该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值,范围从-pi到pi。要精确到xHz,则需要采样长度为1/x秒的信号,并做FFT。要提高频率分辨率,就需要增加采样点数,这在一些实际的应用中是不现实的,需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法,比较简单的方法是采样比较短时间的信号,然后在后面补充一定数量的0,使其长度达到需要的点数,再做FFT,这在一定程度上能够提高频率分辨力。

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